zinet home
home home
home ИНТЕЛЛЕКТ-ПОРТАЛ
home Стартовал прием материалов в сборник XХХIX-й научной конференции. Требования к публикациям - в разделе "Объявления".

На главную | Объявления | Отчеты предыдущих конференций | История Украины | Контакты

РЕСУРСЫ ПОРТАЛА:

Тридцать восьмая научно-практическая конференция
(23 - 28 мая 2016 г.)


Тридцать седьмая научно-практическая конференция
(19 - 22 апреля 2016 г.)


Тридцать шестая научно-практическая конференция
(29 декабря 2015 - 5 января 2016 г.)


Тридцать пятая научно-практическая конференция
(24-27 ноября 2015 г.)


Тридцать четвертая научно-практическая конференция
(13-17 октября 2015 г.)


Тридцать третья научно-практическая конференция
(20-27 мая 2015 г.)


Тридцать вторая научно-практическая конференция
(2-7 апреля 2015 г.)


Тридцать первая научно-практическая конференция
(25 февраля - 1 марта 2015 г.)


Тридцатая научно-практическая конференция
(19-25 января 2015 г.)


Двадцать девятая международная научно-практическая конференция
(19-25 ноября 2014 г.)


Двадцать восьмая международная научно-практическая конференция
(08-13 октября 2014 г.)


Двадцать седьмая научно-практическая конференция
(20-25 мая 2014 г.)


Двадцать шестая научно-практическая конференция
(7-11 апреля 2014 г.)


Двадцать пятая юбилейная научно-практическая конференция
(3-7 марта 2014 г.)


Двадцать четвертая научно-практическая конференция
(20-25 января 2014 г.)


Двадцать третья научно-практическая конференция
(10-15 декабя 2013 г.)


Двадцать вторая научно-практическая конференция
(4-9 ноябя 2013 г.)


Первая международная научно-практическая конференция
(14-18 мая 2013 г.)


Двадцать первая научно-практическая конференция
(14-18 мая 2013 г.)


Двадцатая научно-практическая конференция
(20-28 апреля 2013 г.)


Девятнадцатая научно-практическая конференция
(26 февряля - 3 марта 2013 г.)


Восемнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 декабря 2012 г.)


Семнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 октября 2012 г.)


Шестнадцатая научно-практическая конференция
(09-14 апреля 2012 г.)


Пятнадцатая научно-практическая конференция
(01 - 07 марта 2012 г.)


Четырнадцатая научно-практическая конференция
(12-20 декабря 2011 г.)


Тринадцатая научно-практическая конференция
(28 октября - 09 ноября 2011 г.)


Двенадцатая научно-практическая конференция
(28 мая - 06 июня 2011 г.)


Одинадцатая научно-практическая конференция
(26 апреля - 04 мая 2011 г.)


Десятая научно-практическая конференция
(15-23 марта 2011 г.)


Девятая научно-практическая конференция
(27-31 декабря 2010 г.)


Восьмая научно-практическая конференция
(05-12 декабря 2010 г.)


Седьмая научно-практическая конференция
(28 мая - 7 июня 2010 г.)


Шестая научно-практическая конференция
(1-15 апреля 2010 г.)


Пятая научно-практическая конференция
(20-27 мая 2009 г.)


Четвертая научно-практическая конференция
(10-17 апреля 2009 г.)


Третья научно-практическая конференция
(20-27 декабря 2008 г.)


Вторая научно-практическая конференция
(1-7 ноября 2008 г.)


Первая научно-практическая конференция
(10-15 мая 2008 г.)



НАШИ ПАРТНЕРЫ:

Студия веб-дизайна www.zinet.info



Студия ландшафтного дизайна Флора-МК


Уникальное предложение!



Сайт-визитка - теперь
всего за 200 грн!

подробнее>>>



МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕСУ ЗМІНИ ДЕМОГРАФІЧНОЇ СИТУАЦІЇ

 

Зеліковська С.І.

Україна, м. Київ, НТУУ «КПІ»

 

Пропонується математична модель процесу зміни демографічної ситуації у вигляді автономної немарковской системи масового обслуговування з необмеженим числом приладів і РН-розподілом часу обслуговування заявок. Її дослідження виконується методом асимптотичного аналізу чисельності заявок, обслуговуваних в системі у момент часу t. Знаходяться розподіл ймовірностей чисельності заявок і основні характеристики, що визначають цей розподіл. Показується можливість застосування розробленої моделі та методу до дослідження процесу зміни демографічної ситуації

 

1.        Використання PH-потоку

Пропонується математична модель процесу зміни демографічної ситуації у вигляді автономної немарківської системи масового обслуговування з необмеженою кількістю приладів і РН-розподілом часу обслуговування заявок. Її дослідження виконується методом асимптотичного аналізу чисельності заявок, що обслуговуються в системі у момент часу t. Знаходяться розподіл ймовірностей чисельності заявок та основні характеристики, що визначають цей розподіл. Показується можливість застосування розробленої моделі та методу до дослідження процесу зміни демографічної ситуації.

Зауважимо, що в моделюванні демографічних процесів найбільш поширені детерміновані (дискретні і безперервні) і стохастичні дискретні моделі. Оскільки реальні процеси розвитку чисельності населення протікають в безперервному часу і є стохастичними, то актуальним є побудова стохастичної демографічної моделі з неперервним часом.

У роботі для моделювання демографічних процесів пропонується математична модель, яка є оригінальною не тільки в демографії, але і в теорії масового обслуговування, а також більш адекватної демографічним процесам.

1.1.  Автономна система з РН-розподілом часу обслуговування

В якості математичної моделі процесу зміни чисельності жіночого населення розглядається функціонування автономної немарківської системи масового обслуговування з РН-розподілом часу обслуговування заявок і необмеженим числом приладів.

У такій системі кожна заявка вхідного потоку в момент свого надходження займає вільний прилад і знаходиться на ньому протягом всього часу обслуговування. Тривалість обслуговування  кожної заявки складається з тривалостей кінцевого числа фаз

де  - тривалість  -ої фази обслуговування. Величини  є незалежними експоненціально розподіленими випадковими величинами з параметром , який однаковий для всіх . Обслуговування кожної нової заявки починається на першій фазі. Заявка, завершивши обслуговування на  -й фазі, з імовірністю  переходить до обслуговування на  -ту фазу, а з імовірністю  завершує своє обслуговування і залишає систему. Заявка, що знаходиться на  -й фазі обслуговування, з інтенсивністю  генерує нові вимоги.

Число  фаз обслуговування визначається досягненням з першого стану нульового стану ланцюгом Маркова, заданої графом ймовірностей переходів (рис. 1).

 

Рис. 1. Граф ланцюга Маркова, який визначає тривалість обслуговування заявки

 

У термінах демографії обслуговується заявка інтерпретується як жінка, час обслуговування заявки — тривалість життя цієї жінки, під фазою мається на увазі стохастичний еквівалент віку жінки, функція  — інтенсивність народження дівчаток у жінки  -ої фази життя в році . Вхідним потоком заявок є процес народжуваності дівчаток, тобто послідовність моментів народження дівчаток від всієї сукупності жінок.

Позначимо  — число заявок, що обслуговуються в момент часу  на -й фазі, тоді випадковий процесс

є багатовимірною ланцюгом Маркова з неперервним часом. Для її розподілу ймовірностей

за допомогою формули повної ймовірності запишемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова [3]

(1)

Позначимо характеристичну функцію кількості обслуговуваних заявок в такій системі у момент часу  у вигляді

(2)

Де  – уявна одиниця.

Характеристична функція  є функцією векторного аргументу  і скалярного аргументу . Із системи (1) неважко отримати рівність

(3)

де .

Рішення цього рівняння визначає характеристичну функцію компонент багатовимірного процесу , а отже, вирішує завдання дослідження автономної системи з PH-розподілом часу обслуговування.

Очевидно, що в аналітичному вигляді записати рішення  рівняння (3) не вдасться, тому для знаходження розподілу ймовірностей його значень, а також основних його характеристик скористаємося методом асимптотичного аналізу[3], модифікованим до розглянутій задачі.

1.2.  Дослідження системи методом асимптотичного аналізу

Будемо розглядати рівняння (3) для характеристичної функції  в асимптотичному умови великої чисельності груп, пропорційних нескінченно великій величині . У асимптотичному умови знайдемо характеристичну функцію числа заявок , що обслуговуються в системі у момент часу .

Відзначимо, що асимптотики першого і другого порядків розглянутого методу асимптотичного аналізу аналогічні законом великих чисел, центральної граничної теореми та теорії ймовірностей [2].

1.3.  Асимптотика першого порядку

Позначимо  , в рівнянні (3) виконаємо заміни асимптотики першого порядку

(4)

 

отримаємо рівність

(5)

В силу визначення характеристичної функції (2) ця заміна еквівалентна розгляду послідовності процесів , для якої можна чекати збіжності при .

За формальною ознакою наявності малого параметра  при похідній рівняння (5) можна віднести до сингулярно обуреного рівнянню [4].

Розглянемо такий підклас рішень  рівняння (3), для яких, в силу (4), функція  володіє такими властивостями.

Існує кінцевий межа при  функції

І її похідної по  і по

Сформулюємо теорему.

Теорема 1. При  розв’язок задачі (5) має вигляд

Де  — уявна одиниця, а компоненти  є розв’язками системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

(6)

де функції  мають зміст середнього значення кількості заявок , які обслуговуються в момент часу  на -ій фазі.

Із замін (5) для характеристичної функції  величини  запишемо асимптотичну рівність

Означення. Функцію

Будемо називати асимптотичною першого порядку характеристичної функції  кількості заявок , які обслуговуються в системі з PH-розподілом часу обслуговування в момент .

Слід зазначити, що система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку (6) визначає середнє значення числа заявок, що обслуговуються в системі у момент часу , або в термінах демографії, середнє значення чисельності жіночого населення.

1.4.  Асимптотика другого порядку

Оскільки асимптотика першого порядку визначає лише середні значення чисельності заявок , що обслуговуються в системі у момент часу , то, природно, виникає необхідність знаходження асимптотики другого порядку, що дозволяє одержати більш детальні характеристики системи. Повернемося до рівняння (3), рішення  якого запишемо у вигляді

(7)

де . З (7), очевидно, слід, що  є характеристичним функціоналом центрованої величини  , для якого математичне сподівання дорівнює нулю. Підставляючи вираз (7) в (3), одержимо рівність

(8)

Позначимо ,в цій рівності виконаємо заміни

(9)

Які формально збігаються із замінами (4) для асимптотики першого порядку, але порядок малості параметра  в цих асимптотиках відрізняється принципово. Виконавши зазначені заміни, отримаємо рівність

(10)

Аналогічно асимптотиці першого порядку розглянемо підклас рішень  рівняння (8), для яких у силу (9) функція  володіє такими властивостями.

Існує кінцева межа при  функції

і її похідними по  і по компонентам  

Теорема 2. Розв’язок задачі (10) при  має вигляд

(11)

де  є розв’язками неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку

(12)

де функції  мають вигляд

(13)

Зауважимо, що система диференціальних рівнянь (12) спільно з (13) визначає другі центральні моменти числа заявок, які обслуговуються у системі.

У силу заміни (9) і рівності (11) очевидно можна записати

Підставимо в (7), запишемо

Означення. Функцію

 

будемо називати асимптоти кою другого порядку характеристичної функції  числа заявок , що обслуговуються в системі з PH-розподілом часу обслуговування в момент часу t.

Наслідок. Розподіл ймовірностей величини  кількості заявок, що обслуговуються в системі у момент часу , можна апроксимувати гаусівским (нормальним) розподілом з параметрами: вектор математичних сподівань  і матрицею коваріацій , де

У роботі отримані асимптотики першого і другого порядків, які є аналогами добре відомих в теорії ймовірностей граничних теорем — закону великих чисел і центральної граничної теореми [4], тому умови існування асимптотик і області їх застосування аналогічні умовам цих граничних теорем, застосування яких вважається допустимим при , у той час як в демографії чисельності  стандартних демографічних груп мають порядок 103 для регіонів і 106 для країни в цілому.

1.5.  Висновки до розділу

Зауважимо, що запропонована математична модель, побудована на фазовому процесі більш адекватна реальності, ніж Пуассонівський процес народжуваності, наприклад, як в [1].З отриманих у роботі результатів випливають відомі раніше результати по детермінованій моделі, в той же час методи, описані в роботі, дозволяють знайти другі моменти чисельностей демографічних груп, що є необхідним для аналізу сценаріїв розвитку демографічної ситуації.

Побудовано математичну модель процесу зміни демографічної ситуації у вигляді автономної немарківського системи з РН-розподілом часу обслуговування заявок і необмеженим числом приладів. Знайдено розподіл ймовірностей чисельності заявок та основні характеристики, що визначають цей розподіл.

Прикладне значення роботи полягає у використанні отриманих результатів до дослідження ситуації, і прогнозування майбутньої демографічної ситуації,наприклад Україні.

 

Література

1.      Староверов О.В. Азы математической демографии. – М.: Наука, 1997. – 158 с.

2.      Назаров А.А. Теория массового обслуживания. – Томск: Изд-во НТЛ, 2004. – 228 с.

3.      Коваленко И.Н. Теория вероятностей и математическая статистика / И.Н. Коваленко, А.А. Филиппова. – М.: Высшая школа, 1982. – 206 с.

4.      Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М.: Наука, 1981. – 400 с.



Первая научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(10-15 мая 2008 г.)


(отчет)
Вторая научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(1-7 ноября 2008 г.)
(отчет)
Третья научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(20-27 декабря 2008 г.)
(отчет)
Четвертая научно-практическая конференция
(10-17 апреля 2009 г.)
(отчет)
Пятая научно-практическая конференция
(20-27 мая 2009 г.)
(отчет)
Шестая научно-практическая конференция
(1-15 апреля 2010 г.)
(отчет)
Седьмая научно-практическая конференция
(28 мая - 7 июня 2010 г.)
(отчет)
Восьмая научно-практическая конференция
(05-12 декабря 2010 г.)
(отчет)
Девятая научно-практическая конференция
(27-31 декабря 2010 г.)
(отчет)
Десятая научно-практическая конференция
(15-23 марта 2011 г.)
(отчет)
Одинадцатая научно-практическая конференция
(26 апреля 04 мая 2011 г.)
(отчет)
Двенадцатая научно-практическая конференция
(28 мая - 06 июня 2011 г.)
(отчет)
Тринадцатая научно-практическая конференция
(28 октября - 09 ноября 2011 г.)
(отчет)
Четырнадцатая научно-практическая конференция
(12-20 декабря 2011 г.)
(отчет)
Пятнадцатая научно-практическая конференция
(01-07 марта 2012 г.)
(отчет)
Шестнадцатая научно-практическая конференция
(09-14 апреля 2012 г.)
(отчет)
Семнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 октября 2012 г.)
(отчет)
Восемнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 декабря 2012 г.)
(отчет)
Девятнадцатая научно-практическая конференция
(26 февраля - 3 марта 2013 г.)
(отчет)
Двадцатая научно-практическая конференция
(20-28 апреля 2013 г.)
(отчет)
Двадцать первая научно-практическая конференция
(13-18 мая 2013 г.)
(отчет)
Первая международная научно-практическая конференция
"Перспективные направления отечественной науки - ХХI век"
(13-18 мая 2013 г.)
(отчет)
Двадцать вторая научно-практическая конференция
(4-9 ноября 2013 г.)
(отчет)
Двадцать третья научно-практическая конференция
(10-15 декабря 2013 г.)
(отчет)
Двадцать четвертая научно-практическая конференция
(20-25 января 2014 г.)
(отчет)
Двадцать пятая юбилейная научно-практическая конференция
(3-7 марта 2014 г.)
(отчет)
Двадцать шестая научно-практическая конференция
(7-11 апреля 2014 г.)
(отчет)
Двадцать седьмая научно-практическая конференция
(20-25 мая 2014 г.)
(отчет)
Двадцать восьмая научно-практическая конференция
(08-13 октября 2014 г.)
(отчет)
Двадцать девятая научно-практическая конференция"
(19-25 ноября 2014 г.)
(отчет)
Тридцатая научно-практическая конференция
(19-25 января 2015 г.)
(отчет)
Тридцать первая научно-практическая конференция
(25 февраля - 1 марта 2015 г.)
(отчет)
Тридцать вторая научно-практическая конференция
(2 - 7 апреля 2015 г.)
(отчет)
Тридцать третья научно-практическая конференция
(20 - 27 мая 2015 г.)
(отчет)
Тридцать четвертая научно-практическая конференция
(13 - 17 октября 2015 г.)
(отчет)
Тридцать пятая научно-практическая конференция
(24 - 27 ноября 2015 г.)
(отчет)
Тридцать шестая научно-практическая конференция
(29 декабря 2015 - 5 января 2016 г.)
(отчет)
Тридцать седьмая научно-практическая конференция
(19 - 22 апреля 2016 г.)
(отчет)
Тридцать восьмая научно-практическая конференция
(23 - 25 мая 2016 г.)
(отчет)

На главную | Объявления | Отчеты предыдущих конференций | История Украины | Контакты

Copyright © Zinet.info. Разработка и поддержка сайта - Студия веб-дизайна Zinet.info