zinet home
home home
home ИНТЕЛЛЕКТ-ПОРТАЛ
home Стартовал прием материалов в сборник XХХIX-й научной конференции. Требования к публикациям - в разделе "Объявления".

На главную | Объявления | Отчеты предыдущих конференций | История Украины | Контакты

РЕСУРСЫ ПОРТАЛА:

Тридцать восьмая научно-практическая конференция
(23 - 28 мая 2016 г.)


Тридцать седьмая научно-практическая конференция
(19 - 22 апреля 2016 г.)


Тридцать шестая научно-практическая конференция
(29 декабря 2015 - 5 января 2016 г.)


Тридцать пятая научно-практическая конференция
(24-27 ноября 2015 г.)


Тридцать четвертая научно-практическая конференция
(13-17 октября 2015 г.)


Тридцать третья научно-практическая конференция
(20-27 мая 2015 г.)


Тридцать вторая научно-практическая конференция
(2-7 апреля 2015 г.)


Тридцать первая научно-практическая конференция
(25 февраля - 1 марта 2015 г.)


Тридцатая научно-практическая конференция
(19-25 января 2015 г.)


Двадцать девятая международная научно-практическая конференция
(19-25 ноября 2014 г.)


Двадцать восьмая международная научно-практическая конференция
(08-13 октября 2014 г.)


Двадцать седьмая научно-практическая конференция
(20-25 мая 2014 г.)


Двадцать шестая научно-практическая конференция
(7-11 апреля 2014 г.)


Двадцать пятая юбилейная научно-практическая конференция
(3-7 марта 2014 г.)


Двадцать четвертая научно-практическая конференция
(20-25 января 2014 г.)


Двадцать третья научно-практическая конференция
(10-15 декабя 2013 г.)


Двадцать вторая научно-практическая конференция
(4-9 ноябя 2013 г.)


Первая международная научно-практическая конференция
(14-18 мая 2013 г.)


Двадцать первая научно-практическая конференция
(14-18 мая 2013 г.)


Двадцатая научно-практическая конференция
(20-28 апреля 2013 г.)


Девятнадцатая научно-практическая конференция
(26 февряля - 3 марта 2013 г.)


Восемнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 декабря 2012 г.)


Семнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 октября 2012 г.)


Шестнадцатая научно-практическая конференция
(09-14 апреля 2012 г.)


Пятнадцатая научно-практическая конференция
(01 - 07 марта 2012 г.)


Четырнадцатая научно-практическая конференция
(12-20 декабря 2011 г.)


Тринадцатая научно-практическая конференция
(28 октября - 09 ноября 2011 г.)


Двенадцатая научно-практическая конференция
(28 мая - 06 июня 2011 г.)


Одинадцатая научно-практическая конференция
(26 апреля - 04 мая 2011 г.)


Десятая научно-практическая конференция
(15-23 марта 2011 г.)


Девятая научно-практическая конференция
(27-31 декабря 2010 г.)


Восьмая научно-практическая конференция
(05-12 декабря 2010 г.)


Седьмая научно-практическая конференция
(28 мая - 7 июня 2010 г.)


Шестая научно-практическая конференция
(1-15 апреля 2010 г.)


Пятая научно-практическая конференция
(20-27 мая 2009 г.)


Четвертая научно-практическая конференция
(10-17 апреля 2009 г.)


Третья научно-практическая конференция
(20-27 декабря 2008 г.)


Вторая научно-практическая конференция
(1-7 ноября 2008 г.)


Первая научно-практическая конференция
(10-15 мая 2008 г.)



НАШИ ПАРТНЕРЫ:

Студия веб-дизайна www.zinet.info



Студия ландшафтного дизайна Флора-МК


Уникальное предложение!



Сайт-визитка - теперь
всего за 200 грн!

подробнее>>>



УДК 539.3

 

ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ И ОБОБЩЕНИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ КИРХГОФФА

 

Прудько Е.И. к.т.н., доц.

Украина, Днепропетровск,

Государственное высшее учебное заведение

''Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры''

 

Limits of applicability and generalizations of Kirchhoff approach / E.I. Prudko

It is shown that the Kirchhoff equation in nonlinear beam theory, usually obtained on the basis of some physical hypotheses can be rigorously derived using the asymptotic procedure. A generalization of the Kirchhoff equation is proposed. We also analyze some used in the literature equations and show their inconsistency. We also consider the definition and construction of the nonlinear normal mode of the nonlinear oscillations of continuous systems.

Key words: nonlinear oscillations, beam; Kirchhoff equation, asymptotic analysis.

 

Уравнение Кирхгоффа широко применяется в современной нелинейной механике. Оно позволяет, в частности, аналитически строить нормальные формы нелинейных колебаний распределенной системы для граничных условий шарнирного опирания, разделяя пространственную и временную переменные. Для защемленных краев нормальные формы нелинейных колебаний строятся на основе уравнения Кирхгоффа при помощи метода Болотина . Используется уравнение Кирхгоффа и для более сложных задач. Однако нигде мы не встречаем выписанных в явном виде ограничений, накладываемых «гипотезой Кирхгоффа». Между тем получить их нетрудно.

Целями настояшей работы являются: определение области применимости модели Кирхгоффа; обобщение ее на случай, когда на величину углов поворота не накладывается никаких ограничений; анализ имеющихся в литературе приближенных моделей.

Запишем исходные уравнения нелинейных колебаний балки в виде

 , (1)

, (2)

 

где: ,   модуль Юнга, ‒ площадь и статический момент поперечного сечения балки, ‒ продольное и нормальное перемещения балки,   удельная плотность материала балки;   время,  – пространственная координата.

Граничные условия примем в виде

 при , (3)

 при .            (4)

Если отбросить продольную инерцию в уравнении (2), то получаем

(5)

Интегрирование соотношения (5) с учетом граничных условий (3) позволяет найти продольное усилие N

,

и уравнение (1) принимает вид

.(6)

Уравнение (6) описывает приближенную модель Кирхгоффа. Несмотря на то, что название «модель Кирхгоффа» укоренилось в литературе [1], в оригинальной работе Кирхгоффа [2] его нет. Кирхгофф, наряду с отбрасыванием в уравнении (2) продольной инерции, опускал также и второй член в уравнении (1), так что оригинальное «уравнение Кирхгоффа» имеет вид

. (7)

Таким образом, выражение «гипотеза Кирхгоффа», под которой обычно понимают пренебрежение только продольной инерцией, не совсем точно, однако в силу его общепринятости не будем нарушать традицию.

Для оценки области применимости уравнения (6) приведем уравнения (1), (2) к безразмерной форме

,(8)

,(9)

где

, , , , , . (10)

Величина играет роль малого параметра. Если изменяемости искомого решения по пространственной и временной координатам невелики, то из соотношения (9) следует возможность пренебречь продольной инерцией. Отсюда же, кстати, видна и необоснованность оригинального «уравнения Кирхгоффа» (7).

Предположим теперь, что изменяемость решения по пространственной координате увеличивается. Из уравнения (8) видно, что изменяемость по временной координате растет сообразно квадрату изменяемости по пространственной координате. Теперь оценим, когда члены в левой части уравнения (9) будут иметь один и тот же порядок. Нетрудно видеть, что для этого изменяемость по пространственной координате должна иметь порядок . Это и есть искомое ограничение. Следовательно, применять уравнение (6) при любой изменяемости по пространственной координате неверно.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда на величину углов поворота не накладывается никаких ограничений. Исходные уравнения таковы

, (11)

. (12)

Здесь, 

Применяя обезразмеривание (10), из уравнений (11), (12) получаем

, (13)

 (14)

 (15)

. (16)

Отбрасывая члены порядка  по сравнению с 1 и учитывая, что  имеет порядок  а  порядок  получаем из уравнений (14) (16)

 отсюда  (17)

, (18)

где  , (19)

. (20)

Если выполняются условия (3), то можно определить величину продольного усилия N:

 (21)

 (22)

Уравнениe (18) (с условиями (19) (22)) – обобщенные уравнения Кирхгоффа.
К сожалению, проинтегрировать точно эти уравнения невозможно, однако понижение порядка исходной нелинейной задачи дает возможность эффективно использовать численные методы. Если перейти к теории с малыми углами поворота, то уравнение (18) переходит в обычное уравнение Кирхгоффа. Если же применять метод возмущений, то уравнения (18)
(22) дают возможность последовательно учесть члены порядка .

Отметим, что полученные оценки применимости уравнения Кирхгоффа справедливы также и для упрощенного динамического уравнения Бергера, описывающего нелинейные колебания прямоугольной пластины со сторонами  и .

 

Использованная литература

1.        Kаудерер Г. Нелинейная механика. М. : ИЛ, 1985. 777 с.

2.        Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. 2е изд. М. : УРСС, 2006. 392 с.



Первая научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(10-15 мая 2008 г.)


(отчет)
Вторая научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(1-7 ноября 2008 г.)
(отчет)
Третья научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(20-27 декабря 2008 г.)
(отчет)
Четвертая научно-практическая конференция
(10-17 апреля 2009 г.)
(отчет)
Пятая научно-практическая конференция
(20-27 мая 2009 г.)
(отчет)
Шестая научно-практическая конференция
(1-15 апреля 2010 г.)
(отчет)
Седьмая научно-практическая конференция
(28 мая - 7 июня 2010 г.)
(отчет)
Восьмая научно-практическая конференция
(05-12 декабря 2010 г.)
(отчет)
Девятая научно-практическая конференция
(27-31 декабря 2010 г.)
(отчет)
Десятая научно-практическая конференция
(15-23 марта 2011 г.)
(отчет)
Одинадцатая научно-практическая конференция
(26 апреля 04 мая 2011 г.)
(отчет)
Двенадцатая научно-практическая конференция
(28 мая - 06 июня 2011 г.)
(отчет)
Тринадцатая научно-практическая конференция
(28 октября - 09 ноября 2011 г.)
(отчет)
Четырнадцатая научно-практическая конференция
(12-20 декабря 2011 г.)
(отчет)
Пятнадцатая научно-практическая конференция
(01-07 марта 2012 г.)
(отчет)
Шестнадцатая научно-практическая конференция
(09-14 апреля 2012 г.)
(отчет)
Семнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 октября 2012 г.)
(отчет)
Восемнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 декабря 2012 г.)
(отчет)
Девятнадцатая научно-практическая конференция
(26 февраля - 3 марта 2013 г.)
(отчет)
Двадцатая научно-практическая конференция
(20-28 апреля 2013 г.)
(отчет)
Двадцать первая научно-практическая конференция
(13-18 мая 2013 г.)
(отчет)
Первая международная научно-практическая конференция
"Перспективные направления отечественной науки - ХХI век"
(13-18 мая 2013 г.)
(отчет)
Двадцать вторая научно-практическая конференция
(4-9 ноября 2013 г.)
(отчет)
Двадцать третья научно-практическая конференция
(10-15 декабря 2013 г.)
(отчет)
Двадцать четвертая научно-практическая конференция
(20-25 января 2014 г.)
(отчет)
Двадцать пятая юбилейная научно-практическая конференция
(3-7 марта 2014 г.)
(отчет)
Двадцать шестая научно-практическая конференция
(7-11 апреля 2014 г.)
(отчет)
Двадцать седьмая научно-практическая конференция
(20-25 мая 2014 г.)
(отчет)
Двадцать восьмая научно-практическая конференция
(08-13 октября 2014 г.)
(отчет)
Двадцать девятая научно-практическая конференция"
(19-25 ноября 2014 г.)
(отчет)
Тридцатая научно-практическая конференция
(19-25 января 2015 г.)
(отчет)
Тридцать первая научно-практическая конференция
(25 февраля - 1 марта 2015 г.)
(отчет)
Тридцать вторая научно-практическая конференция
(2 - 7 апреля 2015 г.)
(отчет)
Тридцать третья научно-практическая конференция
(20 - 27 мая 2015 г.)
(отчет)
Тридцать четвертая научно-практическая конференция
(13 - 17 октября 2015 г.)
(отчет)
Тридцать пятая научно-практическая конференция
(24 - 27 ноября 2015 г.)
(отчет)
Тридцать шестая научно-практическая конференция
(29 декабря 2015 - 5 января 2016 г.)
(отчет)
Тридцать седьмая научно-практическая конференция
(19 - 22 апреля 2016 г.)
(отчет)
Тридцать восьмая научно-практическая конференция
(23 - 25 мая 2016 г.)
(отчет)

На главную | Объявления | Отчеты предыдущих конференций | История Украины | Контакты

Copyright © Zinet.info. Разработка и поддержка сайта - Студия веб-дизайна Zinet.info