zinet home
home home
home ИНТЕЛЛЕКТ-ПОРТАЛ
home Стартовал прием материалов в сборник XХХIX-й научной конференции. Требования к публикациям - в разделе "Объявления".

На главную | Объявления | Отчеты предыдущих конференций | История Украины | Контакты

РЕСУРСЫ ПОРТАЛА:

Тридцать восьмая научно-практическая конференция
(23 - 28 мая 2016 г.)


Тридцать седьмая научно-практическая конференция
(19 - 22 апреля 2016 г.)


Тридцать шестая научно-практическая конференция
(29 декабря 2015 - 5 января 2016 г.)


Тридцать пятая научно-практическая конференция
(24-27 ноября 2015 г.)


Тридцать четвертая научно-практическая конференция
(13-17 октября 2015 г.)


Тридцать третья научно-практическая конференция
(20-27 мая 2015 г.)


Тридцать вторая научно-практическая конференция
(2-7 апреля 2015 г.)


Тридцать первая научно-практическая конференция
(25 февраля - 1 марта 2015 г.)


Тридцатая научно-практическая конференция
(19-25 января 2015 г.)


Двадцать девятая международная научно-практическая конференция
(19-25 ноября 2014 г.)


Двадцать восьмая международная научно-практическая конференция
(08-13 октября 2014 г.)


Двадцать седьмая научно-практическая конференция
(20-25 мая 2014 г.)


Двадцать шестая научно-практическая конференция
(7-11 апреля 2014 г.)


Двадцать пятая юбилейная научно-практическая конференция
(3-7 марта 2014 г.)


Двадцать четвертая научно-практическая конференция
(20-25 января 2014 г.)


Двадцать третья научно-практическая конференция
(10-15 декабя 2013 г.)


Двадцать вторая научно-практическая конференция
(4-9 ноябя 2013 г.)


Первая международная научно-практическая конференция
(14-18 мая 2013 г.)


Двадцать первая научно-практическая конференция
(14-18 мая 2013 г.)


Двадцатая научно-практическая конференция
(20-28 апреля 2013 г.)


Девятнадцатая научно-практическая конференция
(26 февряля - 3 марта 2013 г.)


Восемнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 декабря 2012 г.)


Семнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 октября 2012 г.)


Шестнадцатая научно-практическая конференция
(09-14 апреля 2012 г.)


Пятнадцатая научно-практическая конференция
(01 - 07 марта 2012 г.)


Четырнадцатая научно-практическая конференция
(12-20 декабря 2011 г.)


Тринадцатая научно-практическая конференция
(28 октября - 09 ноября 2011 г.)


Двенадцатая научно-практическая конференция
(28 мая - 06 июня 2011 г.)


Одинадцатая научно-практическая конференция
(26 апреля - 04 мая 2011 г.)


Десятая научно-практическая конференция
(15-23 марта 2011 г.)


Девятая научно-практическая конференция
(27-31 декабря 2010 г.)


Восьмая научно-практическая конференция
(05-12 декабря 2010 г.)


Седьмая научно-практическая конференция
(28 мая - 7 июня 2010 г.)


Шестая научно-практическая конференция
(1-15 апреля 2010 г.)


Пятая научно-практическая конференция
(20-27 мая 2009 г.)


Четвертая научно-практическая конференция
(10-17 апреля 2009 г.)


Третья научно-практическая конференция
(20-27 декабря 2008 г.)


Вторая научно-практическая конференция
(1-7 ноября 2008 г.)


Первая научно-практическая конференция
(10-15 мая 2008 г.)



НАШИ ПАРТНЕРЫ:

Студия веб-дизайна www.zinet.info



Студия ландшафтного дизайна Флора-МК


Уникальное предложение!



Сайт-визитка - теперь
всего за 200 грн!

подробнее>>>



ДВОБІЧНИЙ ЧИСЕЛЬНИЙ МЕТОД МАЖОРАНТНОГО ТИПУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

 

Фундак Л.І., Цегелик Г.Г.

Україна, м.Львів,

Львівський національний університет ім. І.Франка

 

С использованием двух подходов к построению аппарата неклассических мажорант и диаграмм Ньютона функций, заданных таблично, разработаны два численные методы интерполяционного типа решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, которые, без учета операций округления, являются точными на определенных классах функций. Комбинируя оба метода, получим двусторонний численный метод.

 

Вступ. Теорію мажорант і діаграм Ньютона, розроблену для степеневих рядів фцнкцій однієї комплексної змінної, широко використовували в дослідженнях Пюізо, Дюма, Адамар, Валірон [1], О. Островський [2] та інші математики. Подальший розвиток цієї теорії належить О. Костовському та його учням [3-11]. Вони теорію мажорант і діаграм Ньютона перенесли на ряди Лорана і Діріхле, узагальнені степеневі ряди, на степеневі ряди, ряди Лорана і Діріхле функцій двох комплексних змінних. Як застосування, для степеневих рядів, узагальнених степеневих рядів і рядів Діріхле виведено формули для визначення нижніх меж їхніх нулів і з’ясовано достатні умови існування “максимальних” областей (у вигляді кілець або смуг), у яких ці ряди не набувають нульових значень; для степеневих рядів і рядів Діріхле функцій двох комплексних змінних виведено рівняння меж їхньої абсолютної збіжності на діаграмі Рейнхарта, побудовано наближені методи відшукання цих меж, визначено достатні умови існування “максимальних” областей (у вигляді бікілець або бісмуг), у яких ці ряди не набувають нульових значень тощо.

Ідею класичного підходу до побудови теорії мажорант і діаграм Ньютона рядів в [12, 13] використано для побудови апарату так званих некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій дійсної змінної, заданих таблично, який знайшов широке застосування в чисельному аналізі. Зокрема, цей апарат нами використано для побудови чисельних методів розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їхніх систем.

У статті наводяться два підходи до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій дійсної змінної, заданих таблично, та його використання для розробки двох чисельних методів розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які, без врахування операцій заокруглення, є точними на певних класах функцій. Комбінуючи обидва методи, одержуємо двобічний чисельний метод.

1. Перший підхід до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично. Нехай функція  задана своїми значеннями у деяких точках :

,

де  – деяка стала.

Точку  з координатами ,  в площині  назвемо точкою зображення значення функції  в точці . Припустимо, що всі точки зображення  у площині  побудовані. З кожної точки зображення  проведемо півпряму в додатному напрямі осі ординат, перпендикулярно до осі абсцис. Множину точок цих півпрямих позначимо через , а її опуклу оболонку через . Для кожного  визначимо точку , де . Множина точок , , утворює лінію , яка обмежує  знизу. Ця лінія є неперервною, опуклою ламаною лінією і її рівняння має вигляд , , де . Ламана лінія , визначена на проміжку , називається некласичною діаграмою Ньютона для функції  на цьому проміжку. На рис. 1 побудована некласична діаграма Ньютона для функції, заданої в дев’ятьох точках.

Рис. 1. Некласична діаграма Ньютона  для функції, заданої в дев’ятьох точках.

 

Діаграма Ньютона  функції  має такі властивості:

         кожна вершина  розміщена в одній із точок зображення  значення функції  в точці ;

         кожна точка зображення  знаходиться на  або розміщена вище неї.

Позначимо

 .

Тоді для кожного  виконується нерівність

.

Крім того,

.

Функція , визначена на проміжку , називається некласичною мажорантою Ньютона функції  на цьому проміжку. Ця функція є неперервною і опуклою на проміжку . Якщо діаграма Ньютона  має  вершинних індексів (індекс  називається вершинним, якщо точка зображення  знаходиться у вершині ), то мажоранта Ньютона  складається з -ї опуклих дуг.

Нами виведена формула некласичної мажоранти Ньютона на проміжку , де  і  – два сусідні вершинні індекси:

.

2. Другий підхід до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично. Нехай функція  задана своїми значеннями у деяких точках :

,

,

де  – деяка стала.

Точку  з координатами ,  в площині  назвемо точкою зображення значення функції  в точці . Припустимо, що всі точки зображення   у площині  побудовані. З кожної точки зображення  проведемо півпряму у від’ємному напрямі осі ординат, перпендикулярно до осі абсцис. Множину точок цих півпрямих позначимо через , а її опуклу оболонку через . Для кожного  визначимо точку , де . Множина точок , , утворює лінію , яка обмежує  зверху. Ця лінія є неперервною, вгнутою ламаною лінією і її рівняння має вигляд , , де . Ламана лінія , визначена на проміжку , називається некласичною діаграмою Ньютона для функції  на цьому проміжку. На рис. 2 побудована некласична діаграма Ньютона для функції, заданої в дев’ятьох точках.

 

Рис. 2. Некласична діаграма Ньютона  для функції, заданої в дев’ятьох точках.

 

Діаграма Ньютона  функції  має такі властивості:

         кожна вершина  розміщена в одній із точок зображення  значення функції  в точці ;

         кожна точка зображення  знаходиться на  або розміщена нижче неї.

Позначимо

 .

Тоді для кожного  виконується нерівність

.

Крім того,

.

Функція , визначена на проміжку , називається некласичною мажорантою Ньютона функції  на цьому проміжку. Ця функція є неперервною і вгнутою на проміжку . Якщо діаграма Ньютона  має  вершинних індексів (індекс  називається вершинним, якщо точка зображення  знаходиться у вершині ), то мажоранта Ньютона  складається з -ї вгнутих дуг.

Нами виведена формула некласичної мажоранти Ньютона на проміжку , де  і  – два сусідні вершинні індекси:

.

3. Інтерполяційні методи мажорантного типу. Використовуючи перший підхід до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, для чисельного розв’язування задачі Коші

, (1)

на проміжку , де , побудований інтерполяційний метод

,(2)

де  – наближене значення розв’язку  задачі (1) в точці  , .

Цей метод дає найбільш точні результати, коли права частина диференціального рівняння  є опуклою функцією.

Використовуючи другий підхід до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона, нами побудований ще один чисельний метод інтерполяційного типу розв’язування задачі Коші

,(3)

де  , .

Цей метод дає найбільш точні результати, коли права частина диференціального рівняння  є вгнутою функцією.

Нами розглянуті питання збіжності, точності та обчислювальної стійкості обох методів.

Комбінуючи обидва методи, одержимо двобічний чисельний метод розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

4. Приклад. Знайти чисельний розв’язок задачі Коші

на проміжку . Точний розв’язок . Результати розв’язування задачі наведені в таблиці.

 

Точки розбиття

Інтерполяційний метод (2)

Інтерполяційний метод (3)

Точний розв’язок

1.1

0.452522

0.452501

0.452490

1.2

0.409903

0.409859

0.409855

1.3

0.371872

0.371808

0.371818

1.4

0.338062

0.337980

0.338009

1.5

0.308062

0.307966

0.308014

1.6

0.281459

0.281351

0.281417

1.7

0.257855

0.257739

0.257821

1.8

0.236889

0.236767

0.236861

1.9

0.218231

0.218108

0.218209

2.0

0.201593

0.201466

0.201576

 

Висновок. Наведено два підходи до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично. Використовуючи ці підходи, розроблено два чисельні методи інтерполяційного типу розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Розглянуто питання збіжності, точності та обчислювальної стійкості методів. Без врахування операцій заокруглення методи є точними на певних класах функцій. Комбінуючи обидва методи, одержимо двобічний чисельний метод розв’язування задачі Коші, що дає можливість спостерігати за точністю наближень.

 

Джерела:

1.     Valiron G. Sur les fonctions entiйres d’ordre nul et d’ordre fini et en particuliйre les fonctions б correspondance rйquliйre / Valiron G. // Ann. sci. Univ. Toulouse sci. math. et sci. phys. – 1914. – Vol.3, №5. – P. 117-259.

2.     Ostrowski A. Recherches sur la Mйthode de Graeffe et les zйros des polynomes et des sйries de Laurent / A. Ostrowski // Acta math. – 1940. – Vol.72. – P. 99-257.

3.     Цегелик Г.Г. Построение теории мажорант и диаграмм Ньютона рядов Дирихле / Г .Г. Цегелик // Изв. вузов. Матем. – 1976. – №3. – С.86-94.

4.     Цегелик Г.Г. Свойства мажоранты и диаграммы Ньютона функции, аналитической в круге / Г .Г. Цегелик // Укр. матем. журн. – 1977. – Т.29, №4. – С.560-562.

5.     Кардаш А.І. Мажоранти та діаграми Ньютона функцій багатьох змінних / А .І. Кардаш, О. М. Костовський, І. І. Чулик // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1967. – Вип.3. – С.97-116.

6.     Кардаш А.І. Властивості мажоранти та діаграми Ньютона цілих функцій двох комплексних змінних / А .І. Кардаш, І. І. Чулик // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1969. – №.7. – С.583-586.

7.     Кардаш А.І. Про області збіжності степеневого ряду та його мажоранти Ньютона для функцій двох комплексних змінних / А .І. Кардаш, І. І. Чулик // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1969. – Вип.4. – С.62-65.

8.     Кардаш А.І. Дослідження границі області збіжності степеневих рядів функцій двох комплексних змінних / А .І. Кардаш, І. І. Чулик // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1972. – №.5. – С.411-414.

9.     Кардаш А.И. Об области сходимости ряда Дирихле функции двух комплексных переменных и его мажоранты Ньютона / А .И. Кардаш, И. И. Чулык // Докл. АН СССР. Сер. А. – 1972. – Т.206, №.4. – С.804-807.

10.  Кардаш А.І. Дослідження граничних властивостей мажоранти і діаграми Ньютона функцій двох комплексних змінних / А .І. Кардаш, І. І. Чулик // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1972. – №.4. – С.316-319.

11.  Костовский О.М. Локализация по модулям нулей ряда Лорана и его производных / О .М. Костовский. – Львов. – 1967. – 208с.

12.  Цегелик Г.Г. Теория мажорант и диаграмм Ньютона функций, заданных таблично, и ее приложение / Г .Г. Цегелик // Укр. матем. журн. – 1989. – Т.41, №9. – С.1273-1276.

13.  Фундак Л.І. Новий підхід до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій та його застосування / Л. І. Фундак, Г .Г. Цегелик // Волин. матем. вісн. Сер. прикл. матем.– 2005. – Вип.3(12). – С.186-200.



Первая научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(10-15 мая 2008 г.)


(отчет)
Вторая научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(1-7 ноября 2008 г.)
(отчет)
Третья научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(20-27 декабря 2008 г.)
(отчет)
Четвертая научно-практическая конференция
(10-17 апреля 2009 г.)
(отчет)
Пятая научно-практическая конференция
(20-27 мая 2009 г.)
(отчет)
Шестая научно-практическая конференция
(1-15 апреля 2010 г.)
(отчет)
Седьмая научно-практическая конференция
(28 мая - 7 июня 2010 г.)
(отчет)
Восьмая научно-практическая конференция
(05-12 декабря 2010 г.)
(отчет)
Девятая научно-практическая конференция
(27-31 декабря 2010 г.)
(отчет)
Десятая научно-практическая конференция
(15-23 марта 2011 г.)
(отчет)
Одинадцатая научно-практическая конференция
(26 апреля 04 мая 2011 г.)
(отчет)
Двенадцатая научно-практическая конференция
(28 мая - 06 июня 2011 г.)
(отчет)
Тринадцатая научно-практическая конференция
(28 октября - 09 ноября 2011 г.)
(отчет)
Четырнадцатая научно-практическая конференция
(12-20 декабря 2011 г.)
(отчет)
Пятнадцатая научно-практическая конференция
(01-07 марта 2012 г.)
(отчет)
Шестнадцатая научно-практическая конференция
(09-14 апреля 2012 г.)
(отчет)
Семнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 октября 2012 г.)
(отчет)
Восемнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 декабря 2012 г.)
(отчет)
Девятнадцатая научно-практическая конференция
(26 февраля - 3 марта 2013 г.)
(отчет)
Двадцатая научно-практическая конференция
(20-28 апреля 2013 г.)
(отчет)
Двадцать первая научно-практическая конференция
(13-18 мая 2013 г.)
(отчет)
Первая международная научно-практическая конференция
"Перспективные направления отечественной науки - ХХI век"
(13-18 мая 2013 г.)
(отчет)
Двадцать вторая научно-практическая конференция
(4-9 ноября 2013 г.)
(отчет)
Двадцать третья научно-практическая конференция
(10-15 декабря 2013 г.)
(отчет)
Двадцать четвертая научно-практическая конференция
(20-25 января 2014 г.)
(отчет)
Двадцать пятая юбилейная научно-практическая конференция
(3-7 марта 2014 г.)
(отчет)
Двадцать шестая научно-практическая конференция
(7-11 апреля 2014 г.)
(отчет)
Двадцать седьмая научно-практическая конференция
(20-25 мая 2014 г.)
(отчет)
Двадцать восьмая научно-практическая конференция
(08-13 октября 2014 г.)
(отчет)
Двадцать девятая научно-практическая конференция"
(19-25 ноября 2014 г.)
(отчет)
Тридцатая научно-практическая конференция
(19-25 января 2015 г.)
(отчет)
Тридцать первая научно-практическая конференция
(25 февраля - 1 марта 2015 г.)
(отчет)
Тридцать вторая научно-практическая конференция
(2 - 7 апреля 2015 г.)
(отчет)
Тридцать третья научно-практическая конференция
(20 - 27 мая 2015 г.)
(отчет)
Тридцать четвертая научно-практическая конференция
(13 - 17 октября 2015 г.)
(отчет)
Тридцать пятая научно-практическая конференция
(24 - 27 ноября 2015 г.)
(отчет)
Тридцать шестая научно-практическая конференция
(29 декабря 2015 - 5 января 2016 г.)
(отчет)
Тридцать седьмая научно-практическая конференция
(19 - 22 апреля 2016 г.)
(отчет)
Тридцать восьмая научно-практическая конференция
(23 - 25 мая 2016 г.)
(отчет)

На главную | Объявления | Отчеты предыдущих конференций | История Украины | Контакты

Copyright © Zinet.info. Разработка и поддержка сайта - Студия веб-дизайна Zinet.info