zinet home
home home
home ИНТЕЛЛЕКТ-ПОРТАЛ
home Стартовал прием материалов в сборник XХХIX-й научной конференции. Требования к публикациям - в разделе "Объявления".

На главную | Объявления | Отчеты предыдущих конференций | История Украины | Контакты

РЕСУРСЫ ПОРТАЛА:

Тридцать восьмая научно-практическая конференция
(23 - 28 мая 2016 г.)


Тридцать седьмая научно-практическая конференция
(19 - 22 апреля 2016 г.)


Тридцать шестая научно-практическая конференция
(29 декабря 2015 - 5 января 2016 г.)


Тридцать пятая научно-практическая конференция
(24-27 ноября 2015 г.)


Тридцать четвертая научно-практическая конференция
(13-17 октября 2015 г.)


Тридцать третья научно-практическая конференция
(20-27 мая 2015 г.)


Тридцать вторая научно-практическая конференция
(2-7 апреля 2015 г.)


Тридцать первая научно-практическая конференция
(25 февраля - 1 марта 2015 г.)


Тридцатая научно-практическая конференция
(19-25 января 2015 г.)


Двадцать девятая международная научно-практическая конференция
(19-25 ноября 2014 г.)


Двадцать восьмая международная научно-практическая конференция
(08-13 октября 2014 г.)


Двадцать седьмая научно-практическая конференция
(20-25 мая 2014 г.)


Двадцать шестая научно-практическая конференция
(7-11 апреля 2014 г.)


Двадцать пятая юбилейная научно-практическая конференция
(3-7 марта 2014 г.)


Двадцать четвертая научно-практическая конференция
(20-25 января 2014 г.)


Двадцать третья научно-практическая конференция
(10-15 декабя 2013 г.)


Двадцать вторая научно-практическая конференция
(4-9 ноябя 2013 г.)


Первая международная научно-практическая конференция
(14-18 мая 2013 г.)


Двадцать первая научно-практическая конференция
(14-18 мая 2013 г.)


Двадцатая научно-практическая конференция
(20-28 апреля 2013 г.)


Девятнадцатая научно-практическая конференция
(26 февряля - 3 марта 2013 г.)


Восемнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 декабря 2012 г.)


Семнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 октября 2012 г.)


Шестнадцатая научно-практическая конференция
(09-14 апреля 2012 г.)


Пятнадцатая научно-практическая конференция
(01 - 07 марта 2012 г.)


Четырнадцатая научно-практическая конференция
(12-20 декабря 2011 г.)


Тринадцатая научно-практическая конференция
(28 октября - 09 ноября 2011 г.)


Двенадцатая научно-практическая конференция
(28 мая - 06 июня 2011 г.)


Одинадцатая научно-практическая конференция
(26 апреля - 04 мая 2011 г.)


Десятая научно-практическая конференция
(15-23 марта 2011 г.)


Девятая научно-практическая конференция
(27-31 декабря 2010 г.)


Восьмая научно-практическая конференция
(05-12 декабря 2010 г.)


Седьмая научно-практическая конференция
(28 мая - 7 июня 2010 г.)


Шестая научно-практическая конференция
(1-15 апреля 2010 г.)


Пятая научно-практическая конференция
(20-27 мая 2009 г.)


Четвертая научно-практическая конференция
(10-17 апреля 2009 г.)


Третья научно-практическая конференция
(20-27 декабря 2008 г.)


Вторая научно-практическая конференция
(1-7 ноября 2008 г.)


Первая научно-практическая конференция
(10-15 мая 2008 г.)



НАШИ ПАРТНЕРЫ:

Студия веб-дизайна www.zinet.info



Студия ландшафтного дизайна Флора-МК


Уникальное предложение!



Сайт-визитка - теперь
всего за 200 грн!

подробнее>>>



РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ ПРО НЕЛІНІЙНІ КОЛИВАННЯ БАЛКИ ЗА ГАРМОНІЙНИМ ЗБУРЮВАННЯМ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕННОСТІ ПАРАМЕТРІВ

 

Баєв С.В., Бараненко В.О.

Україна, м. Дніпропетровськ

ДВНЗ Придніпровська державна академія

будівництва та архітектури

 

Аннотация. В данной работе рассматриваются нелинейные колебания железобетонной балки, неподвижно закрепленной на двух опорах. Балка находится под действием гармонической силы. Определена амплитуда ее колебаний при условии, что ее параметры - модуль упругости, плотность бетона, размеры балки являются нечеткими и изменяются в известных пределах. Рассмотрен конкретный пример. Построена функция принадлежности амплитуды поперечных колебаний балки с использованием теории нечетких чисел.

 

Актуальність проблеми. Створюючи проект споруди, автор проекту оперує параметрами матеріалів, якими є модуль пружності бетона та сталі. Вони не є чіткими, не є чіткими і розміри елементів ще непобудованої конструкції. Тому на стадії проектування треба враховувати нечіткість параметрів і предбачати наслідки цієї невизначенності. В роботі зроблено спробу врахувати невизначеність параметрів для визначення амплітуди коливань балки т-образного перерізу за дією гармонійного збурювання. Розглянемо вимушені поперечні коливання  балки з постійним моментом інерції перетину I, модулем пружності E, площею перетину , з довжиною , погонною масою m . Балка спирається на нерухомі опори (рис.1), тому при поперечному переміщенні виникає горизонтальна реакція , що визначається за формулою

.                                                          (1)

 

Рис. 1. Схема балки, закрепленої на двох опорах

 

На балку діє поперечна змінна сила . Враховуючи (1) за Н.Г.Бондарем [1] отримаємо рівняння коливань

.                   (2)

Тут нижній індекс для функції  позначає частинну похідну за означеної змінної, - функція Дірака, b- точка прикладання сили. Будемо шукати розв’язок у вигляді

,                                                         (3)

де . Цей розв’язок задовольняє нульові геометричні і силові умови. За методом Бубнова-Гальоркіна підставимо функцію (3) в рівняння (2) та мінімізуємо функціонал

,

приходимо до рівняння Дуфінга

                                ,                                              (4)

де

.                                        (5)

Нехай  , де  - амплітуда збурюючої сили, t –час,  - частота гармоніного збурювання. Збурююча сила прикладена в середині балки (=1). Після заміни , рівняння (4) набуває вигляду

.                                         (6)

Таким чином задача про коливання балки з геометричною нелінійністю приводить до розв’язання рівняння Дуфінга з жорсткою характеристикою відновлюючої сили . До рівняння Дуфінга (4) також приводить задача про коливання балки з фізичною нелінійністю, коли напруження  пов’язано з відносним видовженням залежністю

.

В цьому випадку коефіцієнт  може бути як додатним, так і від’ємним.

Розглянемо стаціонарний режим коливань системи, за яким головна складова розв’язку має вигляд правої частини. Природно, що цей режим має місце за певних початкових умов.

Формулювання задачі. Побудуємо наближений розв’язок методом Дуфінга. Для зменшення кількості параметрів рівняння перейдемо до безрозмірних змінних. Нехай  - статичне відхилення відповідної лінійної системи

.                                                                 (7)

Визначимо нову безрозмірну змінну  рівністю

.                                                                   (8)

Це відносне переміщення. З огляду на рівність (7), одержимо з рівності (8)

.                                                               (9)

Перейдемо до безрозмірного аргументу , пов'язаному зі змінною  рівністю

.                                                             (10)

З огляду на рівності (9) і (10), приходимо до рівняння в безрозмірних змінних, що має вже не три, а один параметр  

.                                            (11)

Тут

,                                                          (12)

.                                                               (13)

Нехай нульове наближення має вигляд правої частини і є гармонікою

.                                                        (14)

з поки ще не визначеною амплітудою . В залежності від початкових умов  значення амплітуди A може бути додатним, що відповідає синфазним з діючою силою коливанням, і від’ємним, що відповідає коливанням  в протифазі. Нульове наближення задовольняє початкові умови

, , .                                              (15)

За ідеєю Дуфінга додамо до обох частин рівності (6) вираз . Одержимо

.

Підставляючи в праву частину рівняння, а також у третій і четвертий члени ліву частину виразу (14) для змінної , приходимо до рівності

.               (16)

Щоб виключити резонанс, вираз в круглих дужках правої частини слід прирівняти до нуля. Приходимо до рівняння для визначення амплітуди

,                                                 (17)

Остання рівність є рівнянням амплітудно-частотної характеристики. Тепер рівняння (16) набуває вигляду

,

частинний розв’язок якого, що задовольняє початкові умови (15), визначається рівністю

.

Ця рівність описує перше наближення розв’язку рівняння (11). Рівняння (17) амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) нульового наближення містить єдиний параметр . Графік функції  при  поданий на рис. 2.

 

Рис. 2. .Графік амплітудно-частотної залежності

Рис. 3. Графік залежності  між  и

 

Шляхом заміни змінних у цьому рівнянні можна позбутися і цього параметра [2]. Спочатку знайдемо точку мінімуму графіка залежності частоти збурювання  від амплітуди коливань . Ця точка має координати

,        .

Введемо нові безрозмірні змінні  і  та виразимо через них амплітуду  та частоту  коливань за формулами

,                                                           (18)

.                                                  (19)

Підстановка одиничних значень змінних  і  в ці рівності дає координати точки мінімуму функції . Підставляючи праві частини рівностей (18) і (19) у рівняння (17), приходимо до рівняння в нових безрозмірних змінних  і :

,                                                    (20)

яке вже не містить жодного параметра. Графік залежності між змінними  і  наведено на рис. 3. Виразимо з рівності (19) змінну  через частоту :

.

З огляду на рівності (12) і (13), знаходимо

       .                                              (21)

З рівності (9) випливає, що амплітуда  коливань змінної  пов'язана з амплітудою  безрозмірної змінної  рівністю

.

Враховуючи рівності (12) і (18), після спрощень одержуємо

.                                                  (22)

За формулами Кардано із рівняння (20) отримаємо значення d як функцію c:

,                     (23)

якщо ;

,                                (24)

якщо ;

,                                                       (25)

якщо  або . тут позначено . Відомо, що гілка графіка за рівнянням (25) для  відповідає нестійкому розв’язку. Гілка графіка за рівнянням (23) відповідає великим (сінфазним) коливанням, за рівнянням (24) – малим (антифазним) коливанням. Реалізація великих або малих коливань залежить  від початкових умов. Враховуючи рівності (21) і (22) отримаємо амплітуду коливань .

Рис. 4. Графік функції d.

 

Приклад. Обчислимо амплітуду коливань за нечіткими значеннями параметрів попереднньо напружених балки т-образного перерізу. Будемо вважати параметри балки нечіткими трикутними числами, бо вони мають цінні властивості – простоту описування і ясність інтерпретації, зберігання форми чисел при додаванні і відніманні, зручність декомпозиції на множині - рівня, до того ж відсутня будь-яка статистика для такої задачі. Нехай товщина стінки балки 0.16 м, товщина плити- 0.16 м, висота перерізу 1.72 м. Нижня частина перерізу має розширення. Нехай розміри перерізу мають відхилення в межах допуску  м. За такими розмірами площа перерізу S і момент інерції  мають наступні значення та інтервали змінювання

S= 0.677 ,        0.696 <S <0.715 ,

I= 0.2726 ,     0.2655 <I <0.2797 .

Нечіткі довжина балки l, погонова маса m, модуль пружності E, амплітуда збурюючої сили  та частота збурення , а також їх інтервали змінювання мають наступні значення

l= 33 ,        32.99 <S <33.01 ,

m= 1670 ,        1660 <m <1680 ,

E= ,       <E <,

= 5 H,        4.9 H < <5.1 H,

= 18 гц,        18.1 гц < <18.2 гц.

Означення нечіткого трикутного числа. Нечітким трикутним числом [3] є число з носієм  з єдиним модальним значенням, для якого  і функцією належності:

                                             (26)

Функцію належності нечіткого числа можна трактувати як міру впевненості проектувальника в тому, що всі точки деякого відрізка мало відрізняються від точного, що йому належить, а точне значення ми, можливо, і не знаємо. Цілком природньо, чим більше відрізок, тим менше впевненість в тому, що всі його точки є близькими до точного. Функція належності є суб’єктивною оцінкою. Значення, які приймає функція належності, називають її - рівнем нечіткого числа. Наприклад, якщо модуль пружності бетону за результатами всіх досліджень складає інтервал , то його - рівень дорівнює нулю, а - рівень точного числа дорівнює одиниці, бо точне число – це інтервал, кінці якого йому і дорівнюють. Нечітке число є унімодулярним, якщо умова  справджується тільки для одного значення , це єдине число називають модою. Очевидно, що модальне число трикутного числа є . Нехай всі параметри задачі є унімодулярні нечіткі числа. Будемо проводити дії над нечіткими параметрами на основі інтервального методу. Нечітке трикутне число A повністю визначається трьома точними числами, тому його позначають , а інтервал його -рівня має запис . Очевидно , ,. Враховуючи (26), кінці інтервала  можна записати як функціїї :

.

Операції над нечіткими числами на основі інтервального методу.

Нехай A і B – два нечітких необовязково трикутних числа з інтервалами -рівня  і , . Операції над інтервалами -рівней нечітких чисел A і B виконуються за такими правилами

.

Множення інтервала -рівня нечіткого числа на чітке визначається за правилом

.

Обернений інтервал -рівня нечіткого числа є нечітке число

.

Операцію ділення наводити не будемо, бо її можна звести до множення на обернене число.

Визначимо функцію належності амплітуди коливань. Спочатку обчислимо -рівень нечітких параметрів .

,, , , ,

, .

Тут кінці інтервалів визначаються за формулами:

, ; 0.2655, 0.2726, 0.2797,

, ; 0.696, 0.677, 0.715,

, ; , , ,

, ; 32.99, 33, 33.01,

, ; 1.6, 1.7, 1.8,

, ; 49.9, 50, 50.1,

, ; 17.75, 18, 18.26,

Обчислимо функції належності параметрів (5) рівняння Дуфінга. Із першої і другої рівності виразу (26) за означеними вище правилами операції над нечіткими числами обчислимо кінці інтервалів  і :

, , ,

Обчислимо -рівень нечіткого числа , керуючись рівністю (21), перетворивши . останню до вигляду

.

За означеними вище правилами дій отримаємо -рівень нечіткого числа . Кінці інтервала визначаються за формулами:

, .       (27)

Після обчислення маємо нетрикутне унімодулярне число

,  , .

Це число від’ємне, тому для обчислення параметра d обираємо формулу (21). Графіки функції d (рис. 4) монотонно спадають, або монотонно зростають, що спрощує обчислення інтервалів -рівня нечіткого числа . Кінці інтервала визначаються рівностями: .

Враховуючи рівність (22), обчислимо кінці інтервалів -рівня нечіткої амплітуди :

.

 

Рис. 5. Графік функції належності амплітуди коливань (горизонтальна вісь)

 

Функція належності для амплітуди коливань є опуклою, але не трикутною. На рис.5 наведено графік функції належності нечіткої амплітуди, розрахованої за заданими нечіткими параметрами задачі. Носієм нечіткої амплітуди  нелінійних коливань балки є інтервал . Мода нечіткої амплітуди  дорівнює . Середнє значення нечіткої амплітуди обчислюється за формулою  і складає .

В деяких випадках за очикуване значення нечіткого числа беруть середину інтервала для функції належності на рівні . Маємо м.

Зауваження. Із формул (27) випливає, що параметр c змінює знак, якщо .

В цьому разі змінюється знак амплітуди і форма коливань, тому для визначенності форми коливань має виконуватися одна з умов:  ,або  .

 

Література

1.     Бондар М. Г. Нелінійні стаціонарні коливання. - К.: Наукова думка, 1974. - 210 з.

2.      Баев С.В., Пікуш Ю.С. Побудова аналітичного розв’язку рівняння Дуфінга// Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. – Дніпропетровськ: ПДАБтаА, 2009. - №6-7. – С. 43-48.

3.     Борисов В.В., Федулов А.С., Зернов М.М. Основы нечеткой арифметики. Книга 2. Москва. Горячая линия – Телеком. 2014. 98 стр.



Первая научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(10-15 мая 2008 г.)


(отчет)
Вторая научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(1-7 ноября 2008 г.)
(отчет)
Третья научно-практическая конференция
"Инновационный потенциал украинской науки - ХХI век"
(20-27 декабря 2008 г.)
(отчет)
Четвертая научно-практическая конференция
(10-17 апреля 2009 г.)
(отчет)
Пятая научно-практическая конференция
(20-27 мая 2009 г.)
(отчет)
Шестая научно-практическая конференция
(1-15 апреля 2010 г.)
(отчет)
Седьмая научно-практическая конференция
(28 мая - 7 июня 2010 г.)
(отчет)
Восьмая научно-практическая конференция
(05-12 декабря 2010 г.)
(отчет)
Девятая научно-практическая конференция
(27-31 декабря 2010 г.)
(отчет)
Десятая научно-практическая конференция
(15-23 марта 2011 г.)
(отчет)
Одинадцатая научно-практическая конференция
(26 апреля 04 мая 2011 г.)
(отчет)
Двенадцатая научно-практическая конференция
(28 мая - 06 июня 2011 г.)
(отчет)
Тринадцатая научно-практическая конференция
(28 октября - 09 ноября 2011 г.)
(отчет)
Четырнадцатая научно-практическая конференция
(12-20 декабря 2011 г.)
(отчет)
Пятнадцатая научно-практическая конференция
(01-07 марта 2012 г.)
(отчет)
Шестнадцатая научно-практическая конференция
(09-14 апреля 2012 г.)
(отчет)
Семнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 октября 2012 г.)
(отчет)
Восемнадцатая научно-практическая конференция
(22-26 декабря 2012 г.)
(отчет)
Девятнадцатая научно-практическая конференция
(26 февраля - 3 марта 2013 г.)
(отчет)
Двадцатая научно-практическая конференция
(20-28 апреля 2013 г.)
(отчет)
Двадцать первая научно-практическая конференция
(13-18 мая 2013 г.)
(отчет)
Первая международная научно-практическая конференция
"Перспективные направления отечественной науки - ХХI век"
(13-18 мая 2013 г.)
(отчет)
Двадцать вторая научно-практическая конференция
(4-9 ноября 2013 г.)
(отчет)
Двадцать третья научно-практическая конференция
(10-15 декабря 2013 г.)
(отчет)
Двадцать четвертая научно-практическая конференция
(20-25 января 2014 г.)
(отчет)
Двадцать пятая юбилейная научно-практическая конференция
(3-7 марта 2014 г.)
(отчет)
Двадцать шестая научно-практическая конференция
(7-11 апреля 2014 г.)
(отчет)
Двадцать седьмая научно-практическая конференция
(20-25 мая 2014 г.)
(отчет)
Двадцать восьмая научно-практическая конференция
(08-13 октября 2014 г.)
(отчет)
Двадцать девятая научно-практическая конференция"
(19-25 ноября 2014 г.)
(отчет)
Тридцатая научно-практическая конференция
(19-25 января 2015 г.)
(отчет)
Тридцать первая научно-практическая конференция
(25 февраля - 1 марта 2015 г.)
(отчет)
Тридцать вторая научно-практическая конференция
(2 - 7 апреля 2015 г.)
(отчет)
Тридцать третья научно-практическая конференция
(20 - 27 мая 2015 г.)
(отчет)
Тридцать четвертая научно-практическая конференция
(13 - 17 октября 2015 г.)
(отчет)
Тридцать пятая научно-практическая конференция
(24 - 27 ноября 2015 г.)
(отчет)
Тридцать шестая научно-практическая конференция
(29 декабря 2015 - 5 января 2016 г.)
(отчет)
Тридцать седьмая научно-практическая конференция
(19 - 22 апреля 2016 г.)
(отчет)
Тридцать восьмая научно-практическая конференция
(23 - 25 мая 2016 г.)
(отчет)

На главную | Объявления | Отчеты предыдущих конференций | История Украины | Контакты

Copyright © Zinet.info. Разработка и поддержка сайта - Студия веб-дизайна Zinet.info